正定中学 2024 届高考数学四模试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆锥的高为 3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )A．B．C．D．2．已知，，，若，则正数可以为（ ）A．4B．23C．8D．173．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（ ）A．4B．6C．3D．84．如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A．2B．3C．4D．55．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（ ）A．B．C．D．6．已知向量，是单位向量，若，则（ ）A．B．C．D．7．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）．A．0B．1C．2D．38．把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出下列四个命题①的值域为②的一个对称轴是③的一个对称中心是④存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（ ）A．1B．2C．3D．49．已知 为虚数单位，若复数，则A．B．C．D．10．已知角的终边经过点,则A．B．C．D．11．已知正方体的棱长为 2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）A．B．C．D．12．设且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．展开式中的系数的和大于 8 而小于 32，则______．14．在数列中，已知，则数列的的前项和为__________.15．已知，则__________.16．已知△的三个内角为，，，且，，成等差数列， 则的最小值为__________，最大值为___________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数，曲线在点处的切线在 y 轴上的截距为.（1）求 a；（2）讨论函数和的单调性；（3）设，求证：.18．（12 分）已知直线 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线 上.（Ⅰ）求 的极坐标方程和曲线的参数方程；（Ⅱ）求曲线的内接矩形的周长的最大值.19．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 bcosA﹣asinB＝1．（1）求 A；（2）已知 a＝2，B＝，求△ABC 的面积．20．（12 分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在区间内无解，求实数 的取值范围.21．（12 分）如图 1，在边长为 4 的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图 2 所示的五棱锥.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10 分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.【详解】如图所示：设球半径为，则，解得.故求体积为：，圆锥的体积：，故.故选：.【点睛】本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.2、C【解析】首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；【详解】解： ，∴当时，满足，∴实数可以为 8.故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.3、A【解析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；...
