江苏省南通市、泰州市 2024 届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知中，，则（ ）A．1B．C．D．2．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）A．1B．C．D．3．若复数满足（ 为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）A．B．C．D．4．抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）A．B．C．D．5．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A．B．C．D．6．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A．B．C．D．7．已知实数满足，则的最小值为（ ）A．B．C．D．8．已知函数，若函数在上有 3 个零点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．9．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）A．2B．C．D．310．如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A．2B．3C．4D．511．设，，，则，，三数的大小关系是A．B．C．D．12．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知函数，若对于任意正实数，均存在以为三边边长的三角形，则实数 k 的取值范围是_______.14．设为抛物线的焦点，为上互相不重合的三点，且、、成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为_______.15．在平面直角坐标系中，点 P 在直线上，过点 P 作圆 C：的一条切线，切点为 T.若，则的长是______.16．如图，在一个倒置的高为 2 的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为 1 的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知.（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为，且正实数满足.证明：.18．（12 分）已知函数，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若，当时，函数，求函数的最小值．19．（12 分）一张边长为的正方形薄铝板（图甲），点，分别在，上，且（单位：）.现将该薄铝板沿裁开，再将沿折叠，沿折叠，使，重合，且重合于点，制作成一个无盖的三棱锥形容器（图乙），记该容器的容积为（单位：），（注：薄铝板的厚度忽略不计）（1）若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖，求，的值；（2）试确定的值，使得无盖三棱锥容器的容积最大.20．（12 分）已知函数，，设．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设方程（其中为常数）的两根分别为，，证明：．（注：是的导函数）21．（12 分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；（2）求二面角的余弦值.22．（10 分）已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．（1）求证：；（2）若时，恒成立，求的取值范围．参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】以为基底，将用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】,,.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.2、C【解析】对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.【详解】对任意的总有恒成立，对恒成立，令，可得令，得当，当，，故令，得 当时，当，当时，故选：C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题...
