江苏省淮安市淮阴区 2024 年高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．2．如图，矩形 ABCD 中，，，E 是 AD 的中点，将沿 BE 折起至，记二面角的平面角为，直线与平面 BCDE 所成的角为，与 BC 所成的角为，有如下两个命题：①对满足题意的任意的的位置，；②对满足题意的任意的的位置，，则( ) A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立3．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）A．B．C．D．4．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（ ）A．B．C．D．5．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输出的值为 8，则框图中①处可以填（ ）．A．B．C．D．7．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．8．已知满足，则（ ）A．B．C．D．9．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ）A．或B．C．D．10．已知函数（表示不超过 x 的最大整数），若有且仅有 3 个零点，则实数 a的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）A．B．C．D．12．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.14．数列满足递推公式，且，则___________.15．某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的名同学中恰好名男生 名女生的概率为___________．16．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数，其中， 为自然对数的底数.（1）当时，证明：对；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。18．（12 分）已知数列为公差为 d 的等差数列，，，且，，依次成等比数列，.（1）求数列的前 n 项和；（2）若，求数列的前 n 项和为.19．（12 分）2018 年 9 月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达 52 亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的 50 个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这 50 户并且损失超过 4000元的农户中随机抽取 2 户进行重点帮扶，设抽出损失超过 8000 元的农户数为，求的分布列和数学期望.20．（12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线 与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线 的倾斜角为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：21．（12 分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为...
