江西省南昌市东湖区第二中学 2023-2024 学年高三第五次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1中，P 为 A1D1的中点，若三棱锥 P−ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）A．12B．C．D．102．△ABC 中，AB＝3，，AC＝4，则△ABC 的面积是（ ）A．B．C．3D．3．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（ ）A．B．0C．1D．4．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为 1，输出的的值为（ ）A．B．C．D．6．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）A．0B．4C．D．7．设集合，则（ ）A．B．C．D．8．已知命题：，，则为( )A．，B．，C．，D．，9．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为 1），则该几何体的体积是（ ）A．B．C．D．10．定义运算，则函数的图象是（ ）．A．B．C．D．11．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( )A．B．C．D．12．已知椭圆的右焦点为 F，左顶点为 A，点 P 椭圆上，且，若，则椭圆的离心率 为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知向量，且，则___________.14．复数为虚数单位）的虚部为__________．15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧 AB和其所对弦 AB 围成的图形，若弧田的弧 AB 长为 4π，弧所在的圆的半径为 6，则弧田的弦 AB 长是__________，弧田的面积是__________．16．设 f（x）＝etx（t＞0），过点 P（t，0）且平行于 y 轴的直线与曲线 C：y＝f（x）的交点为 Q，曲线 C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R，若 S（1，f（1）），则△PRS 的面积的最小值是_____．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知 （1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数 a 的范围；（2）若函数有两个极值点 ，且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明．18．（12 分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.19．（12 分）如图，在四棱柱中，平面，底面 ABCD 满足∥BC，且( )Ⅰ 求证:平面;()Ⅱ 求直线与平面所成角的正弦值.20．（12 分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有 4 名男教师、1 名女教师，非党员学习组有 2 名男教师、2 名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选 2 名教师参加学校的挑战答题比赛.（1）求选出的 4 名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记 X 为选出的 4 名选手中女教师的人数，求 X 的概率分布和数学期望.21．（12 分）如图，在四棱锥中，平面， 底面是矩形，，，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设， 求三棱锥的体积.22．（10 分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】取 B1C1的中点 Q，连接 PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱 BCQ−ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥 P−ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可...
