河北容城博奥学校高中 2024 年高三考前热身数学试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数（， 为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．2．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A．B．C．D．3．已知集合，则( )A．B．C．D．4．已知函数的导函数为，记，，…，N. 若，则 （ ）A．B．C．D．5．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．6．过椭圆的左焦点的直线过的上顶点，且与椭圆相交于另一点，点在轴上的射影为，若，是坐标原点，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．7．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）A．B．C．D．8．已知条件，条件直线与直线平行，则是的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件9．现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A．B．C．D．10．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线 与抛物线交于，两点，若直线 与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ）A．等于 4B．大于 4C．小于 4D．不确定11．在复平面内，复数（ 为虚数单位）对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．设是等差数列的前 n 项和，且，则( )A．B．C．1D．2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．若四棱锥的侧面内有一动点 Q，已知 Q 到底面的距离与 Q 到点 P 的距离之比为正常数k，且动点 Q 的轨迹是抛物线，则当二面角平面角的大小为时，k 的值为______.14．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．15．在中，，点是边的中点，则__________，________.16．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字 1，2，3，4，5，6）先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数之和是 6 的的概率是___．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数 ， （1）求函数的单调区间；（2）当时，判断函数，（）有几个零点，并证明你的结论；（3）设函数，若函数在为增函数，求实数的取值范围．18．（12 分）已知函数.其中 是自然对数的底数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.19．（12 分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点作垂直轴的直线 ，点为直线 上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积.20．（12 分）在中，、、的对应边分别为、、，已知，，.（1）求；（2）设为中点，求的长.21．（12 分）如图，为等腰直角三角形，，D 为 AC 上一点，将沿 BD 折起，得到三棱锥，且使得在底面 BCD 的投影 E 在线段 BC 上，连接 AE. （1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10 分）已知函数，为实数，且．（Ⅰ）...
