河北省井陉县第一中学 2024 届高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知满足，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．2．函数的单调递增区间是（ ）A．B．C．D．3．已知三棱锥的外接球半径为 2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A．B．C．D．4．设函数，若在上有且仅有 5 个零点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．5．设集合（为实数集），，，则（ ）A．B．C．D．6．下列函数中，图象关于轴对称的为（ ）A．B．，C．D．7．已知复数 z，则复数 z 的虚部为（ ）A．B．C．iD．i8．做抛掷一枚骰子的试验，当出现 1 点或 2 点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在 3 次这样的试验中成功次数 X 的期望为（ ）A．B．C．1D．29．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ）A．或B．C．或D．10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A．B．C．D．11．已知定义在上的函数的周期为 4，当时，，则（ ）A．B．C．D．12．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )A．B．C．（）D．（）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．某外商计划在个候选城市中投资 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种．14．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____. 15．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．16．数列满足递推公式，且，则___________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线 与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线 斜率的取值范围.18．（12 分）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、 ，焦距为 2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.（1）求的方程；（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.19．（12 分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点．（1）求证：；（2）求二面角的大小．20．（12 分）已知椭圆：（）的离心率为，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线 交椭圆于，两点，为坐标原点.（1）若直线 过椭圆的上顶点，求的面积；（2）若，分别为椭圆的左、右顶点，直线，，的斜率分别为，，，求的值.21．（12 分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.（ⅰ）求面积最大值；（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.22．（10 分）这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华...
