河北省衡水十三中 2024 年高三下学期联合考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点 P 是 C 的右支上一点，连接与 y 轴交于点 M，若（O 为坐标原点），，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．2．已知 为抛物线的准线，抛物线上的点到 的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ）A．B．4C．2D．3．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕 AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．4．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )A．2B．C．D．5．已知定义在 R 上的函数（m 为实数）为偶函数，记，，则 a，b，c 的大小关系为( )A．B．C．D．6．函数的大致图象是（ ）A．B．C．D．7．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( )A．B．C．D．8．已知复数，则（ ）A．B．C．D．9．盒子中有编号为 1，2，3，4，5，6，7 的 7 个相同的球，从中任取 3 个编号不同的球，则取的 3 个球的编号的中位数恰好为 5 的概率是（ ）A．B．C．D．10．双曲线﹣y2=1 的渐近线方程是（ ）A．x±2y=0B．2x±y=0C．4x±y=0D．x±4y=011．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A．B．C．D．12．已知，，，则的最小值为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知（ 为虚数单位），则复数________．14．若函数为偶函数，则________.15．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则 .16．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.18．（12 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 C：（）的焦点 F 在直线上，平行于 x 轴的两条直线，分别交抛物线 C 于 A，B 两点，交该抛物线的准线于 D，E 两点.（1）求抛物线 C 的方程；（2）若 F 在线段上，P 是的中点，证明：.19．（12 分）已知为各项均为整数的等差数列，为的前项和，若为和的等比中项，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求最大的正整数，使得.20．（12 分）已知直线 的参数方程为（， 为参数），曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；(2)若直线 经过点，求直线 被曲线截得的线段的长.21．（12 分）已知数列是等差数列，前项和为，且，．（1）求．（2）设，求数列的前项和．22．（10 分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用三角形与相似得，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设，，由，与相似，所以，即，又因为，所以，，所以，即，，所以双曲线 C 的渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。2、B【解析】设抛物线焦点为，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点，准线，过作交 于点，连接由抛物线定义，，当且仅当三点共线时，取“＝”号，∴的最小值为.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的...
