河北省衡水市重点名校 2024 年高三下学期第五次调研考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若命题 ：从有 2 件正品和 2 件次品的产品中任选 2 件得到都是正品的概率为三分之一；命题 ：在边长为 4 的正方形内任取一点 ，则的概率为 ，则下列命题是真命题的是（ ）A． B． C． D．2．已知函数，若关于的方程恰好有 3 个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．3．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ）A．B．C．D．4．已知中，，则（ ）A．1B．C．D．5．已知 为虚数单位，若复数，则A．B．C．D．6．已知为锐角，且，则等于（ ）A．B．C．D．7．已知无穷等比数列的公比为 2，且，则（ ）A．B．C．D．8．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于 A，B 两点，焦点 F(0，-c)，其中 c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．9．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．已知等比数列的前项和为，若，且公比为 2，则与的关系正确的是（ ）A．B．C．D．11．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为 1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A．B．C．D．12．已知 为虚数单位，实数满足，则 ( )A．1B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.14．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．15．在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且，若，则的正切值为_____.16．已知，满足约束条件，则的最小值为__________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，，，，注：年返修率=（1）从该公司年的相关数据中任意选取 3 年的数据，以表示 3 年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现 2015 年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到 0.01）.附：线性回归方程中， ，.18．（12 分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线 的直角坐标方程；（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与 相交于点，求.19．（12 分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及直线 的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线 的距离的最大值与最小值.20．（12 分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦...
