河北省邢台一中、邢台二中 2023-2024 学年高三第一次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )A．B．C．（）D．（）2．若，则“”是“的展开式中项的系数为 90”的（ ）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知集合，集合，则等于（ ）A．B．C．D．4．的展开式中含的项的系数为（ ）A．B．60C．70D．805．如图，在中，点 M 是边的中点，将沿着 AM 翻折成，且点不在平面内，点 是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A．重心B．垂心C．内心D．外心6．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．240B．264C．274D．2827．已知角的终边经过点,则A．B．C．D．8．某人用随机模拟的方法估计无理数 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数 的估计值是（ ） A．B．C．D．9．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6 和 28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为 496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组 2 个，另一组 3 个，则 6 和 28 恰好在同一组的概率为 A．B．C．D．10．在中，D 为的中点，E 为上靠近点 B 的三等分点，且，相交于点 P，则（ ）A．B．C．D．11．如图，在中，，且，则（ ）A．1B．C．D．12．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等 5 名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．12 种B．24 种C．36 种D．48 种二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知正方体棱长为 2，点 是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点 构成的图形面积为________.14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物 10 株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．15．在中，，点是边的中点，则__________，________.16．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）每年 3 月 20 日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取 18 名,用“10 分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于 8.5 分,则称该人的幸福度为“很幸福”．( )Ⅰ 求从这 18 人中随机选取 3 人,至少有 1 人是“很幸福”的概率；()Ⅱ 以这 18 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．18．（12 分）已知等差数列中，，数列的前项和.（1）求；（2）若，求的前项和.19．（12 分）已知 a＞0，证明：1．20．（12 分）已知三棱锥 P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD 为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥 P-ABC 中：（1）证明：平面平面 ABC；（2）若点 M 在棱 PA 上运动，当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求...
