河南省偃师高级中学 2024 届高三下第一次测试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）A．且B．且C．且D．且2．已知集合，，则=( )A．B．C．D．3．已知集合，则（ ）A．B．C．D．4．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A．若，且，则B．若，且，则C．若，且，则D．若，且，则5．在中，“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）A．B．C．D．7．已知向量，是单位向量，若，则（ ）A．B．C．D．8．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（ ）.A．B．C．D．9．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）A．B．C．D．10．已知复数满足，( 为虚数单位)，则( )A．B．C．D．311．由曲线 y＝x2与曲线 y2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A．1B．C．D．12．设集合，，若，则（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．在面积为的中，，若点是的中点，点满足，则的最大值是______.14．正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心，另外三个顶点圆柱下底面的圆周上，记正四面体的体积为，圆柱的体积为，则的值是______.15．已知，，且，则最小值为__________．16．函数的值域为_____.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）设函数（）的最小值为.（1）求的值；（2）若，，为正实数，且，证明：.18．（12 分）如图，在四棱锥中，底面是边长为 2 的菱形，，平面平面，点为棱的中点．（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．19．（12 分）已知函数（， 为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.20．（12 分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图 1）：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损元，优等品每件盈利元，特优品每件盈利元，以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对该企业近年的年营销费用和年销售量，数据做了初步处理，得到的散点图（如图 2）及一些统计量的值．表中，，，．根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．① 求关于的回归方程；② 用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取）附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21．（12 分）在四棱锥中，底面是边长为 2 的菱形，是的中点.（1）证明：平面；（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.22．（10 分）已知函数（），不等式的解集为.（1）求的值；（2）若，，，且，求的最大值.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由且可得，故选 B.2、C【解析】计算，，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算...
