河南省八市重点高中联盟“领军考试”2024 届高三第二次联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A．16B．17C．18D．192．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为A．B．C．D．4．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为( )A．B．C．D．5．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（ ）A．B．C．D．6．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线 与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（ ）A．1B．2C．4D．87．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为 M，若．则该双曲线的离心率为A．2B．3C．D．8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：① 曲线有四条对称轴；② 曲线上的点到原点的最大距离为；③ 曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；④ 四叶草面积小于.其中，所有正确结论的序号是（ ）A．①②B．①③C．①③④D．①②④9．已知是第二象限的角，，则( )A．B．C．D．10．已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（ ）A．5B．11C．20D．2511．定义在 R 上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（ ）A．B．C．D．12．如图，长方体中，，，点 T 在棱上，若平面.则（ ）A．1B．C．2D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．14．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：不喜欢喜欢男性青年观众4010女性青年观众3080现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了 8 人，则的值为______.15．已知向量，，若向量与向量平行，则实数___________．16．函数满足，当时，，若函数在上有 1515 个零点，则实数的范围为___________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．（1）求直线 的极坐标方程；（2）若直线 与曲线交于，两点，求的面积．18．（12 分）已知函数，其中 e 为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围.19．（12 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线 与曲线相交于，两点.（1）若 的斜率为 2，求 的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）求的值.20．（12 分）已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设函数，证明时， .21．（12 分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.22．（10 分）等差数列中，...
