河南省八校 2024 届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（ ）A．B．C．D．2．函数的图像大致为（ ）A．B．C．D．3．函数的图象大致为( )A．B．C．D．4．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（ ）A．B．C．D．5．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）A．B．C．D．6．（ ）A．B．C．D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A．B．4C．D．58．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则可输入的实数值的个数为（ ）A．1B．2C．3D．49．若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）A．B．C．D．10．若的展开式中的常数项为-12，则实数的值为（ ）A．-2B．-3C．2D．311．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（ ）A．2 或B．2 或C．或D．或12．设 i 是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则 m 的值为（ ）A．B．C．1D．3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．函数过定点________.14．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序.15．能说明“若对于任意的都成立，则在上是减函数”为假命题的一个函数是________.16．如图，在长方体中，，E，F，G 分别为的中点,点 P在平面 ABCD 内，若直线平面 EFG，则线段长度的最小值是________________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．18．（12 分）已知抛物线 Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，P 是抛物线 Γ 上一点，且在第一象限，满足（2，2）（1）求抛物线 Γ 的方程；（2）已知经过点 A（3，﹣2）的直线交抛物线 Γ 于 M，N 两点，经过定点 B（3，﹣6）和 M 的直线与抛物线 Γ 交于另一点 L，问直线 NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．19．（12 分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12 分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：AQI空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失 y（单位：元）与空气质量指数 x 的关系式为，假设该企业所在地 7 月与 8 月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9 月每天的空气质量对应的概率以表中 100 天的空气质量的频率代替.（i）记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济损失为 X 元，求 X 的分布列；（ii）试问该企业 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过 2.88 万元？说明你的理由.21．（12 分）设直线 与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.（1）证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数，满足...
