河南省师范大学附属中学 2024 年高考数学四模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数（ ）．A．B．C．D．2．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )A．B．C．（）D．（）3．已知函数，，且，则（ ）A．3B．3 或 7C．5D．5 或 84．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）A．B．C．D．6．阅读如图的程序框图，若输出的值为 25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A．B．C．D．7．记的最大值和最小值分别为和．若平面向量、、 ，满足，则（ ）A．B．C．D．8．已知，，则的大小关系为（ ）A．B．C．D．9．已知边长为 4 的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（ ）A．16B．14C．12D．810．已知锐角满足则（ ）A．B．C．D．11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少?”已知 l 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为 1，则该楔体的体积为（ ）A．10000 立方尺 B．11000 立方尺C．12000 立方尺 D．13000 立方尺12．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A．7B．15C．31D．63二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．记等差数列和的前项和分别为和，若，则______.14．已知函数在上仅有 2 个零点，设，则在区间上的取值范围为_______．15．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．16．若函数为偶函数，则 ．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取 21 根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于 311的为“长纤维”，其余为“短纤维”）纤维长度甲地（根数）34454乙地（根数）112116（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过 1.125 的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.甲地乙地总计长纤维短纤维总计附：（1）；（2）临界值表；1．111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）现从上述 41 根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取 8 根进行检测，在这 8 根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.18．（12 分）已知 x∈R，设，，记函数.（1）求函数取最小值时 x 的取值范围；（2）设△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，，求△ABC 的面积 S 的最大值.19．（12 分）设都是正数，且，．求证：．20．（12 分）已知矩阵,二阶矩阵满足.（1）求矩阵;（2）求矩阵的特征值．21．（12 分）在，角、、所对的边分别为、、，已知.（1）求的值；（2...
