河南省洛阳市重点中学 2024 年高三 3 月份第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量 X 的分布列如下表：X01Pabc其中 a，b，.若 X 的方差对所有都成立，则（ ）A．B．C．D．2．如图所示，网络纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．2B．C．6D．83．已知集合，则集合真子集的个数为（ ）A．3B．4C．7D．84．的展开式中，项的系数为（ ）A．－23B．17C．20D．635．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（ ）A．128B．65C．64D．636．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A．B．C．D．7．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）A．B．2C．3D．8．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．9．已知数列满足，且成等比数列.若的前 n 项和为，则的最小值为（ ）A．B．C．D．10．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（ ）A．1194B．1695C．311D．109511．已知函数，则的值等于（ ）A．2018B．1009C．1010D．202012．已知是的共轭复数,则（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知，若，则 a 的取值范围是______．14．在中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且，，，则_______.15．已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_________．16．已知 a，b 均为正数，且，的最小值为________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数.（1）若，且，求证：；（2）若时，恒有，求的最大值.18．（12 分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.19．（12 分）如图，平面四边形中，，是上的一点，是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．（12 分）已知函数（1）求单调区间和极值；（2）若存在实数，使得，求证：21．（12 分）是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中最小的项.22．（10 分）已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据 X 的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论.【详解】由 X 的分布列可得 X 的期望为,又,所以 X 的方差,因为,所以当且仅当时,取最大值,又对所有成立,所以,解得,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望 方差的求法､,结合了概率 二次函数等相关知识､,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.2、A【解析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着...
