浙江省宁波市余姚市余姚中学 2024 年高三下学期一模考试数学试题请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若函数在上有 3 个零点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．2．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）A．B．C．D．3．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．4．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值是（ ）A．B．C．D．5．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）A．B．C．D．6．下列四个图象可能是函数图象的是（ ）A．B．C．D．7．从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取 5 次，设摸得白球数为，已知，则 A．B．C．D．8．已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A．B．C．D．9．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ）A．－1B．2C．0 或－1D．2 或－110．已知角的终边经过点，则的值是 A．1 或B．或C．1 或D．或11．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A．B．C．D．12．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为________.14．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点 20 天的游客人数，得到如下茎叶图：由此可估计，全年（按 360 天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多______天.15．若，则__________．16．已知四棱锥的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且.若四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在以 4为半径的同一球面上，当 PA 最长时，则______________；四棱锥 P-ABCD 的体积为______________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）己知的内角的对边分别为.设（1）求的值；（2）若，且，求的值.18．（12 分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.19．（12 分）如图，在三棱柱中，是边长为 2 的菱形，且，是矩形，，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20．（12 分）如图，平面分别是上的动点，且.（1）若平面与平面的交线为 ，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.21．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的离心率为，以椭圆 C 左顶点 T 为圆心作圆，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N.（1）求椭圆 C 的方程；（2）求的最小值，并求此时圆 T 的方程；（3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M，N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与 x 轴交于点 R，S，O 为坐标原点，求证：为定值.22．（10 分）已知函数，（1）证明：在区间单调递减；（2）证明：对任意的有．参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据分段函数，分当，，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究....
