浙江省浙大附中 2023-2024 学年高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数为纯虚数，则( )A．iB．﹣2iC．2iD．﹣i2．若的展开式中二项式系数和为 256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A．85B．84C．57D．563．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）A．B．C．1D．4．正三棱锥底面边长为 3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A．B．C．D．5．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）A．2B．3C．7D．86．设 是虚数单位，复数（ ）A．B．C．D．7．在原点附近的部分图象大概是（ ）A．B．C．D．8．已知函数，若，则的最小值为（ ）参考数据：A．B．C．D．9．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）A．B．0C．1D．310．已知双曲线：，，为其左、右焦点，直线 过右焦点，与双曲线的右支交于，两点，且点在轴上方，若，则直线 的斜率为( )A．B．C．D．11．已知命题 p:直线 a∥b，且 b⊂平面 α，则 a α∥ ；命题 q:直线 l⊥平面 α，任意直线 mα⊂ ，则 l⊥m.下列命题为真命题的是（ ）A．p∧qB．p∨（非 q）C．（非 p）∧qD．p∧（非 q）12．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为 1 的直线 交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________.14．设 P 为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________．16．在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程，（）转化为线性回归方程，即两边取对数，令，得到.受其启发，可求得函数（）的值域是_________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,.（1）求证:平面平面;（2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.18．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数）.以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线 l 的极坐标方程为，若直线 l 与曲线 C 交于两点 A．B，求 AB 的长；（2）设 M、N 是曲线 C 上的两点，若，求面积的最大值.19．（12 分）已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和.求证：.20．（12 分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.21．（12 分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10 分）2019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出 100 名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为 ...
