湖北省西南三校合作体 2023-2024 学年高三第二次联考数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，满足约束条件，则的最大值为A．B．C．D．2．某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图 2 所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A．B．C．D．3．已知向量，，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．4．展开项中的常数项为A．1B．11C．-19D．515．抛物线的焦点为，准线为 ，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在 上的投影为，则的最大值是（ ）A．B．C．D．6．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．若集合，则（ ）A．B．C．D．8．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )A．B．C．D．9．已知复数 z 满足（其中 i 为虚数单位），则复数 z 的虚部是（ ）A．B．1C．D．i10．在边长为 1 的等边三角形中，点 E 是中点，点 F 是中点，则（ ）A．B．C．D．11．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．12．若复数满足，则（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知复数，其中 为虚数单位，则的模为_______________.14．正三棱柱的底面边长为 2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．15． “直线 l1：与直线 l2：平行”是“a＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．16．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为__________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在三棱锥中，为棱的中点，(I)证明：；(II)求直线与平面所成角的正弦值.18．（12 分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数.（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取 20 人.① 求每层应抽取的人数；② 若从，中抽出的学生中再随机选取 2 人，求这 2 人不在同一层的概率.19．（12 分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.（1）证明：平面.（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.20．（12 分）在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求和 的直角坐标方程；（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线 的最大距离．21．（12 分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线 与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.22．（10 分）已知分别是椭圆的左焦点和右焦点，椭圆的离心率为是椭圆上两点，点满足.(1)求的方程；(2)若点在圆上，点为坐标原点，求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几...
