湖南省三湘名校 2024 届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足（ 是虚数单位），则（ ）A．B．C．D．2．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是 A．关于直线对称B．关于点对称C．周期为D．在上是增函数3．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )A．B．C．D．4．已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ）A．B．C．或D．5．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线 与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．4C．2D．6．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )A．B．C．D．17．刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）A．B．C．D．8．若，则“”的一个充分不必要条件是A．B．C．且D．或9．已知 m 为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件10．设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件11．已知四棱锥中，平面，底面是边长为 2 的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数 a 的取值范围是____14．函数的最小正周期是_______________，单调递增区间是__________.15．已知实数满约束条件，则的最大值为___________.16．设函数，若存在实数 m，使得关于 x 的方程有 4 个不相等的实根，且这4 个根的平方和存在最小值，则实数 a 的取值范围是______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知．（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集．18．（12 分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在 2018 年这一年内从 市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10 分(满意)1212022015 分(一般)2362490 分(不满意)106344（1）在样本中任取 个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在 2018 年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.19．（12 分）如图，四棱锥的底面 ABCD 是正方形，为等边三角形，M，N 分别是 AB，AD 的中点，且平面平面 ABCD.（1）证明：平面 PNB；（2）问棱 PA 上是否存在一点 E，使平面 DEM，求的值20．（12 分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿...
