湖南省二校联考 2023-2024 学年高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）A．B．C．D．2．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．3．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．4．直线与抛物线 C：交于 A，B 两点，直线，且 l 与 C 相切，切点为 P，记的面积为 S，则的最小值为 A．B．C．D．5．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为 12 厘米，底面半径为 3 厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．6．直线 l 过抛物线的焦点且与抛物线交于 A，B 两点，则的最小值是A．10B．9C．8D．77．两圆和相外切，且，则的最大值为（ ）A．B．9C．D．18．如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A．B．C．D．9．已知集合,则（ ）A．B．C．D．10．已知无穷等比数列的公比为 2，且，则（ ）A．B．C．D．11．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数，则其和等于 11 的概率是（ ）．A．B．C．D．12．已知数列满足：，则( )A．16B．25C．28D．33二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．设满足约束条件，则目标函数的最小值为_.14．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________.15．在的二项展开式中，所有项的系数之和为 1024，则展开式常数项的值等于_______．16．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，. （1）求证：平面；（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12 分）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线 的极坐标方程为，点．（1）求曲线的极坐标方程与直线 的直角坐标方程；（2）若直线 与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．19．（12 分）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．20．（12 分）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.（Ⅰ）证明：平面平面垂直；（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.21．（12 分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为...
