湖南省株洲市第四中学 2023-2024 学年高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线与抛物线 C：交于 A，B 两点，直线，且 l 与 C 相切，切点为 P，记的面积为 S，则的最小值为 A．B．C．D．2．设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（ ）A．B．C．D．3．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ）A．B．C．D．4．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．5．设为等差数列的前项和，若，则A．B．C．D．6．若的内角满足，则的值为（ ）A．B．C．D．7．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．8．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）A．B．C．8D．69．正的边长为 2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）A．B．C．D．10．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ）A．B．C．D．11．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（ ）A．B．C．D．12．在三棱锥中，，，P 在底面 ABC 内的射影 D 位于直线 AC 上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球 Q 的球面上，则球 Q 的半径为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知等比数列满足公比，为其前项和，，，构成等差数列，则_______．14．在四棱锥中，底面为正方形，面分别是棱的中点，过的平面交棱于点，则四边形面积为__________.15．已知复数满足（ 为虚数单位），则复数的实部为____________.16．函数的极大值为________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且向量与向量共线.（1）求 B；（2）若，，且，求 BD 的长度.18．（12 分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为.（1）求直线 与曲线的普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）记直线 与轴的交点为是曲线上的动点，求点的最大距离.19．（12 分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为. （1）求的方程；（2）过点的直线与相交于、两点，与相交于、两点，且与同向，设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线 绕点旋转时，总是钝角三角形；（3）为上的动点，、为长轴的两个端点，过点作的平行线交椭圆于点，过点作的平行线交椭圆于点，请问的面积是否为定值，并说明理由.20．（12 分）如图，已知椭圆， 为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在 上，且满足.(点从上到下依次排列)(I)试用表示：(II)证明：原点 到直线 l 的距离为定值.21．（12 分）已知不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）已知存在实数使得恒成立，求实数的最大值.22．（10 分）设为实数,已知函数,．（1）当时,求函数的单调区间：（2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;（3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围．参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值．【详解】设，，联...
