湖南省永州市第二中学 2024 年高三六校第一次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足，且成等比数列.若的前 n 项和为，则的最小值为（ ）A．B．C．D．2．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件类产品或者检测出 3 件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（ ）A．B．C．D．3．若平面向量，满足，则的最大值为（ ）A．B．C．D．4．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）A．2B．3C．7D．85．若 为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（ ）A．B．C． 或 D． 或 7．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6 和 28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为 496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组 2 个，另一组 3 个，则 6 和 28 恰好在同一组的概率为 A．B．C．D．8．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A．B．C．D．9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ）A．12 种B．18 种C．24 种D．64 种10．已知定义在上的偶函数，当时，，设，则（ ）A．B．C．D．11．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ）A．B．C．D．12．等比数列的各项均为正数，且，则( )A．12B．10C．8D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为 1 的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．14．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字 1，2，3，4，5，6）先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数之和是 6 的的概率是___．15．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.16． “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2 天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了 5 尺布，现在一个月（按 30 天计算）共织布 390 尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第 n 天所织布的尺数为，则______．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数，.（1）当时，讨论函数的零点个数；（2）若在上单调递增，且求 c 的最大值.18．（12 分）已知集合，集合，.（1）求集合 B；（2）记，且集合 M 中有且仅有一个整数，求实数 k 的取值范围.19．（12 分）如图，为等腰直角三角形，，D 为 AC 上一点，将沿 BD 折起，得到三棱锥，且使得在底面 BCD 的投影 E 在线段 BC 上，连接 AE. （1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12 分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，.（1）若，证明：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.21．（12 分）已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，，求的通项公式；（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；22．（10 分）如图，已知椭圆经...
