湖南省长沙县三中 2023-2024 学年高三第四次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线，F 为抛物线的焦点且 MN 为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ）A．B．C．D．2．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线 交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3．已知是边长为的正三角形，若，则A．B．C．D．4．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5．设分别是双线的左、右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点（位于轴右侧），且四边形为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．6．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A．B．C．D．7．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（ ）条件．A．必要而不充分B．充要C．充分而不必要D．即不充分也不必要8．已知双曲线 C 的两条渐近线的夹角为 60°，则双曲线 C 的方程不可能为（ ）A．B．C．D．9．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市 月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A．1 月至 8 月空气合格天数超过天的月份有个B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C．8 月是空气质量最好的一个月D．6 月份的空气质量最差.10．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为A．B．C．D．511．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．12．已知等差数列中，若，则此数列中一定为 0 的是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知为矩形的对角线的交点，现从这 5 个点中任选 3 个点，则这 3 个点不共线的概率为________.14．已知点是直线 上的一点，将直线 绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线 的方程是______.15．已知等比数列满足公比，为其前项和，，，构成等差数列，则_______．16．已知函数，且，，使得，则实数 m 的取值范围是______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.18．（12 分） 已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数在上的最小值；（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.19．（12 分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线 于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.20．（12 分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.21．（12 分）等差数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.22．（10 分）已知矩阵,二阶矩阵满足.（1）求矩阵;（2）求矩阵的特征值．参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即...
