湖南省长沙市开福区第一中学 2024 届高三下学期一模考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“”是“”的（ ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．tan570°=（ ）A．B．-C．D．3．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）A．B．C．D．4．如图所示是某年第一季度五省 GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A．该年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 3 的是山东省B．与去年同期相比，该年第一季度的 GDP 总量实现了增长C．该年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有 2 个D．去年同期浙江省的 GDP 总量超过了 4500 亿元5．已知复数满足（ 是虚数单位），则=（ ）A．B．C．D．6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为A．B．C．D．7．函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．8．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ）A．B．C．D．9．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ）A．2B．C．D．10．已知函数（）的部分图象如图所示.则（ ）A．B．C．D．11．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ）A．0B．C．D．12．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出 3 位老教师负责指导 5 位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种.A．360B．240C．150D．120二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知全集，集合，则______.14．已知椭圆 C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆的焦距为 2c，过 C 外一点 P(c,2c)作线段PF1，PF2分别交椭圆 C 于点 A、B，若|PA|＝|AF1|，则_____.15．集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①的值可以为 2；②的值可以为；③的值可以为；16．某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的名同学中恰好名男生 名女生的概率为___________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，平面四边形为直角梯形，，，，将绕着翻折到.（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；（2）当平面与平面所成的锐二面角大小为时，求与平面所成角的正弦.18．（12 分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.19．（12 分）已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设函数，证明时， .20．（12 分）已知矩阵不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量，求的值.21．（12 分）已知数列满足对任意都有，其前项和为，且是与的等比中项，．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，设数列的前项和为，求大于的最小的正整数的值．22．（10 分）已知，均为正项数列，...
