湖南省长沙市湖南师范大学附属中学 2024 届高考临考冲刺数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于 的整数除了 和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）A．B．C．D．2．已知向量，，，若，则（ ）A．B．C．D．3．设 为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）A．B．C．D．5．方程在区间内的所有解之和等于( )A．4B．6C．8D．106．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．7．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（ ）A．B．C．D．8．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（ ）A．B．C．D．大小关系不能确定9．已知 f（x）=ax2+bx 是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么 a+b 的值是A．B．C．D．10．已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）A．B．C．D．11．过双曲线的右焦点 F 作双曲线 C 的一条弦 AB，且，若以 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的左顶点，则双曲线 C 的离心率为（ ）A．B．C．2D．12．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于点成中心对称C．函数在单调递增D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，若，则该双曲线的离心率为________.14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.15．关于函数有下列四个命题：① 函数在上是增函数；② 函数的图象关于中心对称；③ 不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；④ 函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）16．已知数列递增的等比数列，若，，则______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为 1．（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线 上的两点，且，，求四边形面积的最大值．18．（12 分）某地在每周六的晚上 8 点到 10 点半举行灯光展，灯光展涉及到 10000 盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中 100 盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：亮灯时长/频数1020402010以样本中 100 盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.（1）试估计的值；（2）设表示这 10000 盏灯在某一时刻亮灯的数目.① 求的数学期望和方差；② 若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.附：① 某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；② 若，则，，.19．（12 分）已知函数，直线为曲线的切线（ 为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表...
