甘肃省张掖二中 2024 年高考数学二模试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．2．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．3．已知为等差数列，若，，则( )A．1B．2C．3D．64．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A．7B．15C．31D．636．设等差数列的前项和为，若，则（ ）A．23B．25C．28D．297．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）A．B．C．D．8．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）A．若，，则或B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则9．已知抛物线的焦点为，过点的直线 与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线 的斜率为A．1B．C．D．10．已知某口袋中有 3 个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则= ( )A．B．1C．D．211．如图，圆锥底面半径为，体积为，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ）A．B．1C．D．12．设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是A．α 内有无数条直线与 β 平行B．α 内有两条相交直线与 β 平行C．α，β 平行于同一条直线D．α，β 垂直于同一平面二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．设平面向量与的夹角为，且，，则的取值范围为______.14．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____. 15．已知数列满足，，若，则数列的前 n 项和______．16．关于函数有下列四个命题：① 函数在上是增函数；② 函数的图象关于中心对称；③ 不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；④ 函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为：2340.4其中，（Ⅰ）求购买该商品的 3 位顾客中，恰有 2 位选择分 2 期付款的概率；（Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分 2 期付款，则商场获得利润 l00 元，若顾客选择分 3 期付款，则商场获得利润 150 元，若顾客选择分 4 期付款，则商场获得利润 200 元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元）（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）若，求的数学期望的最大值.18．（12 分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值．19．（12 分）已知函数，．（1）当时，求不等式的解集； （2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值．20．（12 分）已知函数是减函数.（1）试确定 a 的值；（2）已知数列，求证：.21．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；（2）设和交点的交点为，求 的面积．22．（10 分）如图，在四棱锥中，，，.（1）证明：平面；（2）若，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.参考...
