福建省罗源县第一中学 2023-2024 学年高三第六次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )A．B．C．D．2．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中， 为无理数）①；②；③.A．0B．1C．2D．33．函数（且）的图象可能为（ ）A．B．C．D．4．在复平面内，复数（，）对应向量（O 为坐标原点），设，以射线 Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ）A．B．4C．D．165．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A．240，18B．200，20C．240，20D．200，186．阿波罗尼斯（约公元前 262~190 年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，间的距离为 2，动点与，的距离之比为，当，，不共线时，的面积的最大值是（ ）A．B．C．D．7．已知，则（ ）A．2B．C．D．38．已知直线，，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．若复数满足，则（其中 为虚数单位）的最大值为（ ）A．1B．2C．3D．410．已知是函数的极大值点，则的取值范围是A．B．C．D．11．的展开式中的系数是（ ）A．160B．240C．280D．32012．若向量，则（ ）A．30B．31C．32D．33二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知，满足，则的展开式中的系数为______.14．已知抛物线的焦点为，斜率为 2 的直线 与的交点为，若，则直线 的方程为___________．15．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.16．在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线与 x 轴相交于点 A，其中 e 为自然对数的底数.若点，的面积为 3，则的值是______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18．（12 分）已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的值；（2）定义：若直线与曲线都相切，我们称直线 为曲线、的公切线，证明：曲线与总存在公切线．19．（12 分）如图（1）五边形中，,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. （1）求证：平面平面； （2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线上，点在曲线上，且为正三角形．（1）求点，的极坐标；（2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值．21．（12 分）如图，在底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱中，P 是侧棱上的一点，.（1）若，求直线 AP 与平面所成角；（2）在线段上是否存在一个定点 Q，使得对任意的实数 m，都有，并证明你的结论.22．（10 分）记为数列的前项和，N.（1）求；（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案．【详解】根据题意可得集合...
