福建省莆田一中等三校 2024 年高三最后一卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设 a=log73，，c=30.7，则 a，b，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．2．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）A．B．C．D．3．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）A．1B．2C．3D．44．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有 5 个零点，则的取值范围是( )A．B．C．D．5．函数在上的最大值和最小值分别为（ ）A．，-2B．，-9C．-2，-9D．2，-26．设，则“ ”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位8．设 是虚数单位，若复数，则（ ）A．B．C．D．9．记的最大值和最小值分别为和．若平面向量、、 ，满足，则（ ）A．B．C．D．10．如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）A．B．C．D．11．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（ ）A．4B．5C．6D．712．已知复数，则的虚部为（ ）A．－1B．C．1D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.14．在中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且，，，则_______.15．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．16．函数在区间上的值域为______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线： 于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线 ， ， 轴都相切，设的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线， 分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求 的值.18．（12 分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线 与椭圆交于，两点.（Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线 的方程；（Ⅱ）若直线 过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.19．（12 分）已知各项均不相等的等差数列的前项和为, 且成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）求数列的前项和.20．（12 分）在中，为边上一点，，.（1）求；（2）若，，求.21．（12 分）已知函数.（1）若，，求函数的单调区间；（2）时，若对一切恒成立，求 a 的取值范围.22．（10 分）在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形，平面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，点 Q 为AE 的中点.（1）求证：AC//平面 DQF；（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求 BC 与平面 DQF 所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】，，得解．【详解】，，，所以，故选 D【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．2、B【解析】设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．【详解】由题意设四面体的棱长为，设为的中点，以为...
