福建省莆田哲理中学 2024 届高考数学一模试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知△ABC 中，．点 P 为 BC 边上的动点，则的最小值为（ ）A．2B．C．D．2．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为 A．B．C．D．3．已知抛物线 y2= 4x 的焦点为 F，抛物线上任意一点 P，且 PQ⊥y 轴交 y 轴于点 Q，则 的最小值为（ ）A．B．C．lD．14．已知集合，则集合真子集的个数为（ ）A．3B．4C．7D．85．定义，已知函数，，则函数的最小值为（ ）A．B．C．D．6．若函数 f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数 a 的取值范围是A．[－5，0)B．(－5，0)C．[－3，0)D．(－3，0)7．某校 8 位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出 50 分，则以该 8 位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）A．方差B．中位数C．众数D．平均数8．已知函数，若，则下列不等关系正确的是（ ）A．B．C．D．9．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则( )A．2020B．4038C．4039D．404010．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．11．设函数，则，的大致图象大致是的( )A．B．C．D．12．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线 与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．4C．2D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知 i 为虚数单位，复数，则＝_______．14．在一底面半径和高都是的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____．15．已知数列与均为等差数列（），且，则______．16．双曲线的左焦点为，点，点 P 为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为 8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图所示，在四棱锥中，∥，，点分别为的中点.（1）证明：∥面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.18．（12 分）如图，四边形是边长为 3 的菱形，平面.（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值.19．（12 分）己知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.求椭圆的标准方程；直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与 垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.20．（12 分）已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．21．（12 分）如图 1，在边长为 4 的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图 2 所示的五棱锥.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10 分）已知函数，.（1）当时，讨论函数的零点个数；（2）若在上单调递增，且求 c 的最大值.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】以 BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点 A 的轨迹，进而得到关于 a 的二次函数，可得最小值．【详解】以 BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为．故选 D．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．2、D【解析】由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面...
