福建省莆田市高中毕业班 2023-2024 学年高考数学一模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）A．B．0C．1D．32．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）A．B．C．8D．63．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的 2018 年 10 月份至 2019 年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A．12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为B．12 个月的 PMI 值的平均值低于 50%C．12 个月的 PMI 值的众数为 49.4%D．12 个月的 PMI 值的中位数为 50.3%4．在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（ ）A．B．C．D．5．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁6．若 x，y 满足约束条件且的最大值为，则 a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．若的二项展开式中的系数是 40，则正整数的值为（ ）A．4B．5C．6D．78．在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（ ）A．0B．1C．2D．39．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）A．8B．32C．64D．12810．设双曲线（，）的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点，且椭圆的焦距为 2，则双曲线的标准方程为（ ）A．B．C．D．11．如图，正方体中，，，，分别为棱、、、的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）A．直线B．直线C．直线D．直线12．第七届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在中国武汉举行，中国队以 133 金 64 银 42 铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．（5 分）在长方体中，已知棱长，体对角线，两异面直线与所成的角为，则该长方体的表面积是____________．14．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为________.15．函数的定义域为____.16．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为 512，其展开式中第四项的系数__________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线 和圆的普通方程；（2）已知直线 上一点，若直线 与圆交于不同两点，求的取值范围.18．（12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆.（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；（2）若圆的半径为，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值.19．（12 分）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为 2 的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）（文科）求三棱锥的体积；（理科）求二面角的正切值.20．（12 分）已知椭圆：的长半轴长为，点（ 为椭圆的离心率）...
